Abbildung 1: neuwertiger Hartensteiner Adventsstern (Quelle: https://www.erzgebirge-palast.de)

Einleitung

Mein älterer Hartensteiner Weihnachtsstern ging langsam kaputt. Besonders das Innenleben leimte auseinander und war nicht mehr stabil genug den Stern zu halten. Ich entschloss mich, das Gerüst des Sterns neu zu drucken.

Aufbau des Sterns

Der Stern besteht aus 12 fünfeckigen Spitzen und einem Gerüst aus Pappe, welches schon mehrfach verstärkt wurde.

Neukonstruktion

 Abbildung 2: alter Grundkörper

Um dieses Gerüst zu ersetzen habe ich den Grundkörper neu konstruiert. Aufgrund der Größe habe ich mich entschieden das Gerüst aus 12 Einzelteilen zusammen zu setzen. Dies lassen sich leichter drucken und es sind keine aufwendigen Abstützungen beim Drucken nötig. Für die Konstruktion verwende ich FreeCAD.

Abbildung 3: Konstruktion Teilkörper

Berechnung der Winkel

Damit die Teile aneinander passen muss der Winkel der Kanten untereinander berechnet werden.

Zuerst werden die Innenwinkel berechnet. Ein Fünfeck wird zerlegt in fünf gleich große Dreiecke, die sich alle im Mittelpunkt treffen. Die Summe aller Winkel um diesen Mittelpunkt ist der Vollkreis mit 360°. Daher beträgt der Winkel zum Mittelpunkt in jedem Dreieck 72° = \frac{360°}{5}. Die beiden anderen Winkel sind gleich groß, daher ergeben sich die andern Dreieckwinkel aus der Innenwinkelsumme \frac{180° - 72°}{2} = 54°. Die Innenwinkel im Fünfeck bestehen aus zwei Dreieckswinkel und daher einen Wert von 2 \cdot 54° = 108°.

Abbildung 4: Berechnung Innenwinkel Fünfeck

Abbildung 5: Zusammenfügen der Teilstücke

Für die Konstruktion ist noch entscheidend, unter welchem Winkel sich die drei Fünfecke aneinanderfügen. Es wird daher der Winkel berechnet, der benötigt wird, wenn man eines von zwei benachbarten, flachen Fünfecken hochklappt, bis diese zusammenpassen.  Dazu müssen die zwei grünen Linien senkrecht übereinander stehen.


Abbildung 6: Berechnung Kippwinkel Teil 1

Der Winkel von der senkrechten Linie (Winkel 90°) zur grünen Knickkante beträgt 18° = 108° - 90°.  Der Winkel von der senkrechten Linie zur zweiten grünen Linien beträgt auch 18° = 180° - 108° - 54°. Der Winkel zur zweiten grünen Linie beträgt 36° = 18° + 18°.

Abbildung 7: Berechnung Kippwinkel Teil 2

Die lange grüne Gerade habe die Länge l. Der Abstand zur kurzen grünen Gerade beträgt a = tan(18°) \cdot l.

Durch das Hochklappen des rechten Fünfecks muss der Eckpunkt an der kurzen grünen Gerade bis zur anderen Ecke der kurzen grünen Gerade geschwenkt werden. Dabei wird immer senkrecht von oben geschaut und der Anteil, der aus der Bildebene heraus kommt, erst einmal vernachlässigt.

Erklärung:
Damit sich drei Fünfecken in einer Ecke berühren, müssen diese aus Symmetriegründen auf der Verlängerung vom Mittelpunkt eines Fünfecks durch eine seiner Eckpunkte liegen. Genau diese ist die weiße Linie, die durch die Endpunkt der beiden grünen Linie verläuft und im Mittelpunkt des linken Fünfeck startet. Die kurze grüne Gerade habe die Länge m. Die Länge n soll dabei die Länge des eine Teil der langen grünen Gerade sein. Es ergibt sich n = l - m. Der Abstand der grünen Geraden ergibt sich jedoch auch mit dem andern Winkel als a = tan(36°) \cdot n = tan(18°)\cdot l4. Definiert man x zu  x=\frac{n}{l} so erhält man \frac{tan(36°)}{l} = \frac{tan(18°)}{X}

x = \frac{tan(18°)}{tan(36°)}

Wird das rechte Fünfecke um den Winkel α nach oben geklappt, so bleibt der Eckpunkt von oben betrachtet auf der kleinen grünen Gerade, wenn man von oben drauf schaut. Die lange grüne gerade verkürzt sich um x = \frac{n}{l}=cos(\alpha)

x = \frac{tan(18°)}{tan(36°)}=cos(\alpha)

\alpha = arccos(\frac{tan(18°)}{tan(36°)})=63,43°

Der Innenwinkel des Gerüsts beträgt folglich 180° - 63,43° = 116,57°

Für die Konstruktion muss der Winkel noch halbiert werden, da er auf beiden Seiten wirksam wird. Der verwendete Winkel beträgt  58,28° = \frac{116,57°}{2}

Konstruktion des Grundkörperteils

Abbildung 8: Konstruktion Grundkörperteil im Schnitt

Abbildung 9: Alter Stern in neuem Schein

Abbildung 10: das gedruckte Innenleben des Sterns

Abbildung 11: Einzelnes Pentagonsegment

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